Art\u00edculo #3.
\nhttp:\/\/www.psicogeometria.com\/matematica.html<\/p>\n
\u00aeTodos los derechos reservados. Autor del documento: Arturo Ponce de Le\u00f3n para Psicogeometr\u00eda M\u00e9xico. Colaboraci\u00f3n: Nin\u00f3n Fregoso.Se autoriza la reproducci\u00f3n del material contenido en este sitio siempre y cuando se cite la fuente y se respete la integridad del texto.<\/p>\n
\u00bfQu\u00e9 es el n\u00famero \u00e1ureo o phi?<\/p>\n
Phi (1.618033988749895… ), pronunciado \u0093fi\u0094, es un numero irracional tal como pi (3.14159265358979… ), pero con muchas caracter\u00edsticas matem\u00e1ticas inusuales. Phi es la base de la proporci\u00f3n dorada. La raz\u00f3n o proporci\u00f3n determinada por Phi (1.618…) era conocida, por los griegos, como la \u0093Secci\u00f3n Dorada\u0094 y, por los artistas del Renacimiento, como la \u0093Proporci\u00f3n Divina\u0094. Tambi\u00e9n se le conoce como la raz\u00f3n dorada o la proporci\u00f3n \u00e1urea.
\nPhi, como pi, es una raz\u00f3n definida por una construcci\u00f3n geom\u00e9trica. Esta \u00faltima es la relaci\u00f3n de la circunferencia de un c\u00edrculo respecto a su di\u00e1metro y phi es la proporci\u00f3n de los segmentos de una l\u00ednea que resultan cuando una l\u00ednea es dividida de una forma \u00fanica y especial, que explicaremos a continuaci\u00f3n.<\/p>\n
La l\u00ednea es dividida para que la proporci\u00f3n de la longitud de la l\u00ednea entera (A) respecto a la longitud del segmento de la l\u00ednea mayor (B) sea igual que la proporci\u00f3n de la longitud del segmento de la l\u00ednea mayor (B) a la longitud del segmento de la l\u00ednea menor (C)<\/p>\n
Esto significa que A es 1.618… veces B, y B es 1.618\u0085 veces C. Rec\u00edprocamente, C es 0.618… de B y B es 0.618… de A. Phi, escrito con may\u00fascula, es 1.6180339887…, mientras que phi con min\u00fascula es 0.6180339887, el rec\u00edproco de Phi o Phi menos 1. <\/p>\n
Lo que hace a phi incluso m\u00e1s inusual es que puede derivarse de muchas formas y ser encontrado, proporcionalmente, en el Universo. Phi puede ser derivado por la serie num\u00e9rica descubierta por Leonardo Fibonacci, por las matem\u00e1ticas y por la Geometr\u00eda.<\/p>\n
Phi y la serie de Fibonacci<\/p>\n
Leonardo Fibonacci, por herencia del mundo \u00e1rabe, descubri\u00f3 la serie que nos lleva a phi. En el siglo XII, Leonardo Fibonacci descubri\u00f3 una serie num\u00e9rica simple que es la base de la incre\u00edble relaci\u00f3n que encontramos detr\u00e1s de phi. Empezando con 0 y 1, cada n\u00famero de la serie es simplemente la suma de los dos anteriores. Por lo tanto, la serie queda construida de la siguiente manera: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .<\/p>\n
La raz\u00f3n (proporci\u00f3n) de cada par sucesivo de n\u00fameros en la serie se aproxima a phi (1.618..). As\u00ed es como si dividimos 5 entre 3 obtenemos 1.666…, y 8 entre 5 da 1.60. En la medida en la que vayamos m\u00e1s lejos del 0 (punto de inicio de la secuencia), m\u00e1s nos acercamos al valor de phi.<\/p>\n
La tabla de abajo nos muestra c\u00f3mo las proporciones de n\u00fameros sucesivos en la serie Fibonacci se aproxima a phi.<\/p>\n
Se puede computar cualquier n\u00famero de la serie Fibonacci f\u00e1cilmente. Se debe usar phi para saber cualquier n\u00famero (n) de la serie Fibonacci (f)<\/p>\n
fn = Fn \/ 51?2<\/p>\n
Phi puede derivarse matem\u00e1ticamente resolviendo la ecuaci\u00f3n:
\nn2 – n1 – n0 = 0, que es lo mismo que n2 – n – 1 = 0
\nEsta ecuaci\u00f3n la reescribimos y nos queda as\u00ed:
\nn2 = n + 1 y 1 \/ n = n – 1
\nLa soluci\u00f3n a la ecuaci\u00f3n es la ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s 1 dividido entre 2
\n( 51?2 + 1 ) \/ 2 = 1.6180339… = F<\/p>\n
Esto resulta en dos propiedades \u00fanicas de phi:
\nSi elevas al cuadrado a phi, obtienes exactamente 1 n\u00famero m\u00e1s que phi: 2.6180…
\nF2 = F + 1
\nSi divides a phi entre 1, obtienes exactamente 1 n\u00famero menos que phi: 0.6180…:
\n1 \/ F = F – 1<\/p>\n
Phi, curiosamente, puede ser expresado en cinco: 5 ^ .5 * .5 + .5 = F<\/p>\n
Puedes usar phi para computar un n\u00famero n en la serie Fibonacci (fn): fn = Fn \/ 51?2<\/p>\n
Como por ejemplo, el n\u00famero 40 de la serie Fibonacci es 102, 334, 155, que puede expresarse
\nf40 = F40 \/ 51?2 = 102,334,155<\/p>\n
Este m\u00e9todo en realidad nos provee un estimado que siempre est\u00e1 cerca del n\u00famero correcto Fibonacci.<\/p>\n
Funciones trigonom\u00e9tricas<\/p>\n
Phi tambi\u00e9n puede ser relacionada a pi por funciones trigonom\u00e9tricas.<\/p>\n
Phi puede ser relacionado con \u0093e\u0094, base de los logaritmos naturales, por el inverso hiperb\u00f3lico de la funci\u00f3n seno: F = e ^ asinh(.5)<\/p>\n
Puede ser expresado como un l\u00edmite, d\u00e1ndonos una idea de su capacidad de auto recurrencia:<\/p>\n
Es importante mencionar que phi es puede ser una raz\u00f3n matem\u00e1tica, una raz\u00f3n aritm\u00e9tica o una raz\u00f3n geom\u00e9trica.
\nPero, ante todo, \u00bfqu\u00e9 entendemos por razones matem\u00e1ticas?<\/p>\n
Razones matem\u00e1ticas<\/p>\n
En matem\u00e1ticas, el termino \u0093raz\u00f3n\u0094 significa una relaci\u00f3n espec\u00edfica de un n\u00famero con respecto a otro, como el punto medio respecto a dos extremos,<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Raz\u00f3n aritm\u00e9tica<\/p>\n
En la imagen se muestra que la raz\u00f3n aritm\u00e9tica de 2 y 8 es 5, porque 5 est\u00e1 a la misma distancia entre ambos, si sumamos sus distancias:
\n2 + 3 = 5 y 5 + 3 = 8<\/p>\n
Para la raz\u00f3n aritm\u00e9tica (b) de 2 n\u00fameros (a) y (c): b = ( a + c ) \/ 2<\/p>\n
La raz\u00f3n aritm\u00e9tica, entonces, es el simple promedio (suma) entre dos n\u00fameros<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Raz\u00f3n geom\u00e9trica<\/p>\n
La raz\u00f3n geom\u00e9trica es similar, pero est\u00e1 basada en m\u00faltiplos comunes que relacionan su raz\u00f3n a los otros dos n\u00fameros. Por ejemplo, la raz\u00f3n geom\u00e9trica de 1 y 9 es 3, porque 3 est\u00e1 en la misma distancia de ambos si se multiplica su distancia:
\n1*3 = 3 y 3 * 3 = 9<\/p>\n
As\u00ed 1 es a 3 como 3 es a 9.
\nPara la raz\u00f3n geom\u00e9trica (b) de dos n\u00fameros (a) y (c), b es la ra\u00edz cuadrada de a por c.<\/p>\n
\u00a0 Raz\u00f3n aurea<\/p>\n
La raz\u00f3n dorada es una raz\u00f3n geom\u00e9trica muy espec\u00edfica. En la raz\u00f3n geom\u00e9trica de arriba, vimos las longitudes siguientes de segmentos de l\u00ednea en una l\u00ednea de n\u00fameros: 1,3,9.<\/p>\n
Aqu\u00ed, 1 x 3 = 3 y 3 x 3 = 9, pero 3 + 3 = 6, no 9. La raz\u00f3n dorada impone el requerimiento adicional de que los dos segmentos que definen la raz\u00f3n tambi\u00e9n deben sumarse a la longitud del segmento completo de la l\u00ednea:<\/p>\n
Esto solamente ocurre en un punto, que como podemos ver arriba es s\u00f3lo un poco menos que 5\/8, o 0.625. El punto exacto de la raz\u00f3n dorada es 0.6180339887…, donde:
\nA es a B como B es a C, y B + C = A<\/p>\n
El n\u00famero 5 esta intr\u00ednsecamente relacionado con phi\u00a0 con la serie Fibonacci.
\nPhi puede ser derivado de varias formulas basadas en el n\u00famero 5. La m\u00e1s tradicional, basada en la construcci\u00f3n geom\u00e9trica de phi, es: Phi = (v5+1)\/2<\/p>\n
Esta formula tambi\u00e9n puede ser expresada en cincos, como sigue: F = 5 ^ .5 * .5 + .5<\/p>\n
Otra f\u00f3rmula para phi basada enteramente en cincos, es: F= v((5+v5)\/(5-v5))<\/p>\n
Los t\u00e9rminos de la representaci\u00f3n de arriba de phi tambi\u00e9n pueden ser expresados de otra forma que involucra al 5: (5+v5) x (5-v5) = 5 + 5 + 5 + 5<\/p>\n
Pent\u00e1gono<\/p>\n
Tomemos un pent\u00e1gono con cinco lados iguales y conectemos todos sus puntos para formar una estrella de cinco puntas. Las razones de la longitud de los segmentos de l\u00ednea resultantes est\u00e1n todos basados en phi.<\/p>\n
En la imagen, notamos que A:B como B:C como C:D =0.618033 (el inverso de phi)<\/p>\n
Se puede computar un n\u00famero (n) de la serie Fibonacci (fn) usando phi y la ra\u00edz de 5: fn = Fn \/ 51?2<\/p>\n
El 5 es tambi\u00e9n el quinto n\u00famero de Fibonacci, en 0,1,1,2,3,5<\/p>\n
El 5 aparece en cuerpo humano, que tiene proporciones basadas en phi. 5 extensiones del torso; 1 cabeza, 2 brazos, 2 piernas. 5 extensiones de cada brazo y piernas, en 5 dedos cada una. 5 aperturas en la cara y 5 sentidos: vista, o\u00eddo, gusto, tacto, olfato.<\/p>\n
Espiral \u00e1urea (espiral dorada)<\/p>\n
Espiral Dorada creando Punto de Implosi\u00f3n en la Tierra <\/p>\n
Si sumamos los cuadrados de cualquier serie de los n\u00fameros Fibonacci, van a igualar el \u00faltimo n\u00famero Fibonacci usado en la serie por el siguiente n\u00famero Fibonacci. Esta propiedad se ve en la espiral dorada, que se encuentra desde la concha del molusco Nautilus hasta en las galaxias: 12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 5 x 8
\nEntonces, 12 + 12 + . . . + F(n)2 = F(n) x F(n+1)<\/p>\n
Nota: la espiral basada en la serie de Fibonacci es ligeramente diferente a la espiral perfecta generada por phi debido a las aproximaciones en la serie a phi. (1, 1, 2, 3, 5, 8 y 13 producen proporciones de 1, 2, 1.5, 1.67, 1.6 y 1.625)<\/p>\n
Las espirales alternas en las plantas ocurren en los n\u00fameros Fibonacci. Las plantas ilustran la serie de Fibonacci en el n\u00famero de sus hojas, en el arreglo de las hojas alrededor del tallo y en la posici\u00f3n de las hojas, las secciones y las semillas. En la imagen podemos ver el centro de un girasol que ilustra este principio como 55 espirales en el sentido de las manecillas del reloj y 89 en contra.<\/p>\n
Podemos apreciar, en esta confiera, 8 espirales girando hacia un lado y 13 girando hacia el lado contrario. 8 y 13 son dos de los n\u00fameros de la secuencia Fibonacci. El principio de la creaci\u00f3n de la gravedad y de la vida. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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