La Matemática en la Geometría Sustentable
Artículo #3.
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¿Qué es el número áureo o phi?
Phi (1.618033988749895… ), pronunciado fi, es un numero irracional tal como pi (3.14159265358979… ), pero con muchas características matemáticas inusuales. Phi es la base de la proporción dorada. La razón o proporción determinada por Phi (1.618…) era conocida, por los griegos, como la Sección Dorada y, por los artistas del Renacimiento, como la Proporción Divina. También se le conoce como la razón dorada o la proporción áurea.
Phi, como pi, es una razón definida por una construcción geométrica. Esta última es la relación de la circunferencia de un círculo respecto a su diámetro y phi es la proporción de los segmentos de una línea que resultan cuando una línea es dividida de una forma única y especial, que explicaremos a continuación.
La línea es dividida para que la proporción de la longitud de la línea entera (A) respecto a la longitud del segmento de la línea mayor (B) sea igual que la proporción de la longitud del segmento de la línea mayor (B) a la longitud del segmento de la línea menor (C)
Esto significa que A es 1.618… veces B, y B es 1.618 veces C. Recíprocamente, C es 0.618… de B y B es 0.618… de A. Phi, escrito con mayúscula, es 1.6180339887…, mientras que phi con minúscula es 0.6180339887, el recíproco de Phi o Phi menos 1.
Lo que hace a phi incluso más inusual es que puede derivarse de muchas formas y ser encontrado, proporcionalmente, en el Universo. Phi puede ser derivado por la serie numérica descubierta por Leonardo Fibonacci, por las matemáticas y por la Geometría.
Phi y la serie de Fibonacci
Leonardo Fibonacci, por herencia del mundo árabe, descubrió la serie que nos lleva a phi. En el siglo XII, Leonardo Fibonacci descubrió una serie numérica simple que es la base de la increíble relación que encontramos detrás de phi. Empezando con 0 y 1, cada número de la serie es simplemente la suma de los dos anteriores. Por lo tanto, la serie queda construida de la siguiente manera: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .
La razón (proporción) de cada par sucesivo de números en la serie se aproxima a phi (1.618..). Así es como si dividimos 5 entre 3 obtenemos 1.666…, y 8 entre 5 da 1.60. En la medida en la que vayamos más lejos del 0 (punto de inicio de la secuencia), más nos acercamos al valor de phi.
La tabla de abajo nos muestra cómo las proporciones de números sucesivos en la serie Fibonacci se aproxima a phi.
Se puede computar cualquier número de la serie Fibonacci fácilmente. Se debe usar phi para saber cualquier número (n) de la serie Fibonacci (f)
fn = Fn / 51?2
Phi puede derivarse matemáticamente resolviendo la ecuación:
n2 – n1 – n0 = 0, que es lo mismo que n2 – n – 1 = 0
Esta ecuación la reescribimos y nos queda así:
n2 = n + 1 y 1 / n = n – 1
La solución a la ecuación es la raíz cuadrada de 5 más 1 dividido entre 2
( 51?2 + 1 ) / 2 = 1.6180339… = F
Esto resulta en dos propiedades únicas de phi:
Si elevas al cuadrado a phi, obtienes exactamente 1 número más que phi: 2.6180…
F2 = F + 1
Si divides a phi entre 1, obtienes exactamente 1 número menos que phi: 0.6180…:
1 / F = F – 1
Phi, curiosamente, puede ser expresado en cinco: 5 ^ .5 * .5 + .5 = F
Puedes usar phi para computar un número n en la serie Fibonacci (fn): fn = Fn / 51?2
Como por ejemplo, el número 40 de la serie Fibonacci es 102, 334, 155, que puede expresarse
f40 = F40 / 51?2 = 102,334,155
Este método en realidad nos provee un estimado que siempre está cerca del número correcto Fibonacci.
Funciones trigonométricas
Phi también puede ser relacionada a pi por funciones trigonométricas.
Phi puede ser relacionado con e, base de los logaritmos naturales, por el inverso hiperbólico de la función seno: F = e ^ asinh(.5)
Puede ser expresado como un límite, dándonos una idea de su capacidad de auto recurrencia:
Es importante mencionar que phi es puede ser una razón matemática, una razón aritmética o una razón geométrica.
Pero, ante todo, ¿qué entendemos por razones matemáticas?
Razones matemáticas
En matemáticas, el termino razón significa una relación específica de un número con respecto a otro, como el punto medio respecto a dos extremos,
Razón aritmética
En la imagen se muestra que la razón aritmética de 2 y 8 es 5, porque 5 está a la misma distancia entre ambos, si sumamos sus distancias:
2 + 3 = 5 y 5 + 3 = 8
Para la razón aritmética (b) de 2 números (a) y (c): b = ( a + c ) / 2
La razón aritmética, entonces, es el simple promedio (suma) entre dos números
Razón geométrica
La razón geométrica es similar, pero está basada en múltiplos comunes que relacionan su razón a los otros dos números. Por ejemplo, la razón geométrica de 1 y 9 es 3, porque 3 está en la misma distancia de ambos si se multiplica su distancia:
1*3 = 3 y 3 * 3 = 9
Así 1 es a 3 como 3 es a 9.
Para la razón geométrica (b) de dos números (a) y (c), b es la raíz cuadrada de a por c.
Razón aurea
La razón dorada es una razón geométrica muy específica. En la razón geométrica de arriba, vimos las longitudes siguientes de segmentos de línea en una línea de números: 1,3,9.
Aquí, 1 x 3 = 3 y 3 x 3 = 9, pero 3 + 3 = 6, no 9. La razón dorada impone el requerimiento adicional de que los dos segmentos que definen la razón también deben sumarse a la longitud del segmento completo de la línea:
Esto solamente ocurre en un punto, que como podemos ver arriba es sólo un poco menos que 5/8, o 0.625. El punto exacto de la razón dorada es 0.6180339887…, donde:
A es a B como B es a C, y B + C = A
El número 5 esta intrínsecamente relacionado con phi con la serie Fibonacci.
Phi puede ser derivado de varias formulas basadas en el número 5. La más tradicional, basada en la construcción geométrica de phi, es: Phi = (v5+1)/2
Esta formula también puede ser expresada en cincos, como sigue: F = 5 ^ .5 * .5 + .5
Otra fórmula para phi basada enteramente en cincos, es: F= v((5+v5)/(5-v5))
Los términos de la representación de arriba de phi también pueden ser expresados de otra forma que involucra al 5: (5+v5) x (5-v5) = 5 + 5 + 5 + 5
Pentágono
Tomemos un pentágono con cinco lados iguales y conectemos todos sus puntos para formar una estrella de cinco puntas. Las razones de la longitud de los segmentos de línea resultantes están todos basados en phi.
En la imagen, notamos que A:B como B:C como C:D =0.618033 (el inverso de phi)
Se puede computar un número (n) de la serie Fibonacci (fn) usando phi y la raíz de 5: fn = Fn / 51?2
El 5 es también el quinto número de Fibonacci, en 0,1,1,2,3,5
El 5 aparece en cuerpo humano, que tiene proporciones basadas en phi. 5 extensiones del torso; 1 cabeza, 2 brazos, 2 piernas. 5 extensiones de cada brazo y piernas, en 5 dedos cada una. 5 aperturas en la cara y 5 sentidos: vista, oído, gusto, tacto, olfato.
Espiral áurea (espiral dorada)
Espiral Dorada creando Punto de Implosión en la Tierra
Si sumamos los cuadrados de cualquier serie de los números Fibonacci, van a igualar el último número Fibonacci usado en la serie por el siguiente número Fibonacci. Esta propiedad se ve en la espiral dorada, que se encuentra desde la concha del molusco Nautilus hasta en las galaxias: 12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 5 x 8
Entonces, 12 + 12 + . . . + F(n)2 = F(n) x F(n+1)
Nota: la espiral basada en la serie de Fibonacci es ligeramente diferente a la espiral perfecta generada por phi debido a las aproximaciones en la serie a phi. (1, 1, 2, 3, 5, 8 y 13 producen proporciones de 1, 2, 1.5, 1.67, 1.6 y 1.625)
Las espirales alternas en las plantas ocurren en los números Fibonacci. Las plantas ilustran la serie de Fibonacci en el número de sus hojas, en el arreglo de las hojas alrededor del tallo y en la posición de las hojas, las secciones y las semillas. En la imagen podemos ver el centro de un girasol que ilustra este principio como 55 espirales en el sentido de las manecillas del reloj y 89 en contra.
Podemos apreciar, en esta confiera, 8 espirales girando hacia un lado y 13 girando hacia el lado contrario. 8 y 13 son dos de los números de la secuencia Fibonacci. El principio de la creación de la gravedad y de la vida.